题 专题 15 概率及统计案例 1 ．下列说法错误的有（
）
A ．随机事件 A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B ．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 C ．任意事件 A 发生的概率 P A 满足 0 1 P A
D ．若事件 A 发生的概率趋近于 0 ，则事件 A 是不可能事件 【答案】CD
【解析】根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断②正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断③错误，根据小概率事件的概念判断④错误． ∵随机事件 A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，∴A 中说法正确； 基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，∴B中说法正确； 必然事件发生的概率为 1，不可能事件发生的概率为 0，随机事件发生的概率大于 0 且小于 1.∴任意事件 A发生的概率 P（A）满足 0 1 P A .∴C 中说法错误； 若事件 A 发生的概率趋近于 0，则事件 A 是小概率事件，但不是不可能事件，∴D 中说法错误. 故选：CD 2 ．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2 张，一次任意取出 2 张卡片，则与事件“2 张卡片都为红色” 互斥而非对立的事件是（
）. A ．2 张卡片都不是红色 B ．2 张卡片恰有一张红色 C ．2 张卡片至少有一张红色 D ．2 张卡片都为绿色 【答案】ABD 】
【解析】根据对立事件和互斥事件的定义，逐一分析四个事件与事件“2 张卡片都为红色”的关系，可得答案． 从 6 张卡片中一次取出 2 张卡片的所有情况有“2 张都为红色”“2 张都为绿色”“2 张都为蓝色”“1 张红色 1 张绿色”“1 张红色 1 张蓝色”“1 张绿色 1 张蓝色”， 在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2 张卡片都为绿色”，其中“2 张卡片至少有一张红色”包含事件“2 张卡片都为红色”，二者并非互斥事件. 故选：ABD. 3 ．（多选）以下对各事件发生的概率判断 正确的是（
）.
A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13 B ．每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如 8 3 5 过 ，在不超过 14 的素数中随机选取两个不于 同的数，其和等于 14 的概率为115 C ．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ）先后抛掷 2 次，观察向上的是 点数，则点数之和是 6 的概率是536 D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12 【答案】BCD 【解析】利用古典概型公式分别计算四个选项中的概率，从而得解. 对于 A，画树形图如下：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有 9 种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜）13 ，P（乙获胜）13 ，故玩一局甲不输的概率是23，故 A 错误； 对于 B，不超过 14 的素数有 2，3，5，7，11，13 共 6 个，从这 6 个素数中任取 2 个，有 2 与 3，2 与 5，2与 7，2 与 11，2 与 13，3 与 5，3 与 7，3 与 11，3 与 13，5 与 7，5 与 11，5 与 13，7 与 11，7 与 13，11与 13 共 15 种结果，其中和等于 14 的只有一组 3 与 11，所以在不超过 14 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 14 的概率为115，故 B 正确； 对于 C，基本事件总共有 6 6 36 种情况，其中点数之和是 6 的有 15 （，）
， 24 （ ，）
， 33 （ ，）
， 42 （ ，）
， 51 （ ，）
，共 5 种情况，则所求概率是536，故 C 正确； 对于 D，记三件正品为1A ，2A ，3A ，一件次品为 B，任取两件产品的所有可能为1 2A A ，1 3A A ，1A B ，2 3A A ，2A B ，3A B ，共 6 种，其中两件都是正品的有1 2A A ，1 3A A ，2 3A A ，共 3 种，则所求概率为3 16 2P ，故 D 正确.故选 BCD. 4 ．设 集合 {2,3,4} M ，{1,2,3,4} N ，分别从集合 M 和 N 中随机取一个元素 m 与 n . 记“ 点 ( , ) P m n 落在直线 x y k 上” 为事件 *3 8,kA k k N ，若事件kA 的概率最大，则 k 的取值可能是（
）
A． ． 4
B． ． 5
C． ． 6
D． ． 7
【答案】BC 【解析】先计算出基本事件的总数，再分别求出事件3A 、事件4A 、事件5A 、事件6A 、事件7A 、事件8A 所包含基本事件的个数及相应的概率即可. 由题意，点 ( , ) P m n 的所有可能情况为 (2,1) 、 (2,2) 、 (2,3) 、 (2,4) 、 (3,1) 、 (3,2) 、 (3,3) 、 (3,4) 、 (4,1) 、(4,2) 、 (4,3) 、 (4,4) ，共 12 个基本事件，则事件3A ：点 ( , ) P m n 落在直线 3 x y 包含其中 (2,1) 共 1 个基本事件，所以 3112P A ；事件4A ：点 ( , ) P m n 落在直线 4 x y 包含其中 (2,2) 、 (3,1) 共 2 个基本事件，所以 416P A ；事件5A ：点 ( , ) P m n 落在直线 5 x y 包含其中 (2,3) 、 (3,2) 、 (4,1) 共 3 个基本事件，所以 514P A ；事件6A ：点 ( , ) P m n 落在直线 6 x y 包含其中 (2,4) 、 (3,3) 、 (4,2) 共 3 个基本事件，所以 614P A ；事件7A ：点 ( , ) P m n 落在直线 7 x y 包含其中 (3,4) 、 (4,3) 共 2 个基本事件，所以 716P A ；事件8A ：点 ( , ) P m n 落在直线 8 x y 包含其中 (4,4) 共 1 个基本事件，所以 8112P A .综上可得，当 5 k 或 6 时， 5 6max14kP A P A P A . 故选：BC. 5 ．下列关于各事件发生的概率判断正确的是（
）
A ．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为23 B ．四条线段的长度分别是 1 ，3 ，5 ，7 ，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14 C ．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为13
D ．已知集合 2,3,4,5, 7 { } 6, A ， {2,3,6,9} B ，在集合 A B 中任取一个元素，则该元素是集合 A B中的元素的概率为35 【答案】ABC 【解析】结合古典概型的概率计算公式对各选项依次判断即可. 对于 A，从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲、乙），（甲、丙），（乙、丙），共 3 种情况，其中，甲被选中的情况有 2 种，故甲被选中的概率为23P ，故 A 正确； 对于 B，从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该试验属于古典概型.又所有基本事件包括 135 （，，）
， 137 （，，）
， 157 （，，）
， 357 （，，）
四种情况，而能构成三角形的基本事件只有 357 （，，）
一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14P ，故 B 正确；对于 C，该树枝的树梢有 6处，有 2 处能找 1 到食物，所以获得食物的概率为2 16 3 ，故 C.正确； 对于 D，因为 {2,3,4,5,6,7,9} A B ， {2,3,6} A B ，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37，故 D 错误. 故选 ABC. 6 ．下列对各事件发生的概率判断正确的是（
）
A ．某学生在上学的路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13第 ，那么该生在上学路上到第 3 个路口首次遇到红灯的概率为427 B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25 C ．甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12 D ．设两个独立事件 A 和 和 B 都不发生的概率为19， ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，件 则事件 A 发生的概率是29 【答案】AC 【解析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可
对于 A,该生在第 3 个路口首次遇到红灯的情况为前 2 个路口不是红灯,第 3 个路口是红灯,所以概率为21 1 413 3 27 ,故 A 正确； 对于 B,用 A、B、C 分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则1( )5P A ,1( )3P B ,1( )4P C ,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为4 2 3 25 3 4 5 ,所以此密码被破译的概率为2 315 5 ,故 B 不正确； 对于 C,设“从甲袋中取到白球”为事件 A,则8 2( )12 3P A ,设“从乙袋中取到白球”为事件 B,则6 1( )12 2P B ,故取到同色球的概率为2 1 1 1 13 2 3 2 2 ,故 C 正确； 对于 D,易得 ( ) ( ) P A B P B A ,即 ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P B P A , 即 ( )[1 ( )] ( )[1 ( )] P A P B P B P A ,∴ ( ) ( ) P A P B ,又1( )9P A B , ∴1( ) ( )3P A P B ,∴2( )3P A ,故 D 错误 故选：AC 7 ．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表. 经计算2K的观测值 4.762 k ，则可以推断出（
）
满意 不满意 男 男 30 20 女 女 40 10
2P K k
0.100 0.050 0.010 k
2.706 3.841 6.635 A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35 B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C ．有 95% 的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D ．有 99% 的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【答案】AC 【解析】根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务满意的概率的估计值,根据 4.762 3.841 k ,可判断C、D 选项 对于选项 A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30 330 20 5=+,故 A 正确；
对于选项 B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为40 4 340 10 5 5 ,故 B 错误； 因为 4.762 3.841 k ,所以有 95% 的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故 C 正确,D 错误 故选：AC 8 ．针对时下的“ 抖音热” ，某校团委对“ 学生 性别和喜欢抖音是否有关” 作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有 95% 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（
）人
附表：
20P K k
0.050
0.010
k
3.841
6.635
附： 22n ad bcKa b c d a c b d A． ． 25
B． ． 45
C． ． 60
D． ． 75
【答案】BC 【解析】设男生的人数为 5n n N ，列出 2 2 列联表，计算出2K的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出 n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值. 设男生的人数为 5n n N ，根据题意列出 2 2 列联表如下表所示：
男生 女生 合计 喜欢抖音 4n
3n
7n
不喜欢抖音 n
2n
3n
合计 5n
5n
10n
则 2210 4 2 3 105 5 7 3 21n n n n n nKn n n n ， 由于有 95% 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632 K ， 即103.841 6.63221n ，得 8.0661 13.9272 n ， n N，则 n 的可能取值有 9 、 10 、 11 、 12 ， 因此，调查人数中男生人数的可能值为 45 或 60 . 故选：BC. 9 ．经过对2K的统计量的研究，得到了若干个临界值，当2K的观测值 3.841 k 时，我们（
）
A ．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下可认为 A 与 B 有关 B ．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下可认为 A 与 B 无关 C ．有 99% 的把握说 A 与 B 有关 D ．有 95% 的把握说 A 与 B 有关 【答案】AD 【解析】根据2K的值，结合独立性检验的知识点，分析得到答案。
由于23.841 K ，所以23.841) 0.05 ( P K ， 则我们认为在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下可认为 A 与 B 有关，并且有 95%的把握说 A 与 B 有关； 故答案选 AD 10 ．在一个古典概型中，若两个不同的随机事件 A 、 B 发生的概率相等，则称 A 和 和 B 是“ 等概率事件” ，如：随机抛掷一个骰子一次，事件“ 点数为奇数” 和“ 点数为偶数” 是“ 等概率事件” 关于“ 等概率事件” ，以下判断正确的是（
）
A ．在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“ 等概率事件” B ．若一个古典概型的事件总数大于 2 ，则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“ 等概率事件” C ．因为所有必然事件的概率都是 1 ，所以任意两个 必然事 件都是“ 等概率事件” D ．同时抛掷三枚硬币一次，则事件“ 仅有一个正面” 和“ 仅有两个正面” 是“ 等概率事件” 【答案】AD
【解析】根据新定义分别判断即可． 对于 A，由古典概型的定义知，所有基本事件的概率都相等，故所有基本事件之间都是“等概率事件”，故 A正确； 对于 B，如在 1，3，5，7，9 五个数中，任取两个数，所得和为 8 和 10 这两个事件发生的概率相等，故 B错误； 对于 C，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故 C 不正确； 对于 D，同时抛掷三枚硬币一次共有 8 种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含 3 种结果，其概率为38，“仅有两个正面”包含 38 种结果，其概率为38，故这两个事件是“等概率事件”，故 D 正确. 故选：AD.
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