第六章 样本及抽样分布 一、选择题 1. 设1 2, , ,nX X X 是来自总体 X 的简单随机样本,则1 2, , ,nX X X 必然满足(
) A.独立但分布不同;
B.分布相同但不相互独立;
C 独立同分布;
D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（
）.
A．统计量为随机变量
B. 统计量是样本的函数
C. 统计量表达式中不含有参数
D. 估计量是统计量
3 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（
）.
A. 若1 2~ ( , ), F F n n 则2 11~ ( , ) F n nF
B．若2~ ( ), ~ (1, ) T t n T F n 则
C．若 ) 1 ( ~ ), 1 , 0 ( ~2 2x X N X 则
D．在正态总体下2212( )~ ( 1)niiXx n
4． 设2,i iX S 表示来自总体2( , )i iN 的容量为in 的样本均值和样本方差 ) 2 , 1 ( i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（
）.
A. 2 22 11 22 21 2~ ( 1, 1)SF n nS
B. 1 21 22 21 21 2( ) ( )~ (0,1)X XNn n
C. ) ( ~/11 111n tn SX
D. 2222 222( 1)~ ( 1)n Sx n
5. 设1 2, , ,nX X X 是来自总体的样本,则211( )1niiX Xn是(
).
A.样本矩
B. 二阶原点矩
C. 二阶中心矩
D.统计量 61 2, , ,nX X X 是来自正态总体 ) 1 , 0 ( N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则(
).
A. ) 1 , 0 ( ~ N X
B. ~ (0,1) nX N
C. 2 21~ ( )niiX x n
D. ~ ( 1)Xt nS
7. 给定一组样本观测值1 2 9, , , X X X 且得 91291, 285 , 45iiiiX X 则样本方差2S的观测值为 (
).
A.
7.5
B.60
C.320
D. 265 8 设 X 服从 ) (n t 分布, a X P } | {| ，则 } { X P 为(
).
A. a21
B. a 2
C. a 21
D. a211
9 设1 2, , ,nx x x 是来自正态总体2(0,2 ) N 的简单随机样本，若 29 8 7 625 4 322 1) ( ) ( ) 2 ( X X X X c X X X b X X a Y 服 从2x 分 布 ， 则c b a , , 的值分别为（
）.
A. 161,121,81
B. 161,121,201
C. 31,31,31
D. 41,31,21
10 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3 ) N ,设9 2 1, , , X X X 和 9 2 1, , , Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量91921iiiiXUY服从分布是(
).
A. ) 9 ( t
B. ) 8 ( t
C.
) 81 , 0 ( N
D. ) 9 , 0 ( N
二、填空题 1．在数理统计中，
称为样本. 2 ． 我 们 通 常 所 说 的 样 本 称 为 简 单 随 机 样 本 ， 它 具 有 的 两 个 特 点是
. 3．设随机变量nX X X , , ,2 1 相互独立且服从相同的分布，2, DX EX ，令niiXnX11，则 EX ； . DX
4. ) , , , (10 2 1X X X 是 来 自 总 体 ) 3 . 0 , 0 ( ~2N X 的 一 个 样 本 ， 则101244 . 1iiX P
.
5．已知样本16 2 1, , , X X X 取自正态分布总体 ) 1 , 2 ( N ， X 为样本均值，已知 5 . 0 } { X P ，则
. 10．6 设总体 ) , ( ~2 N X ， X 是样本均值，2nS 是样本方差， n 为样本容量，则常用的随机变量22) 1 (nS n 服从
分布.
第七章
参数估计 一 、 选择题 1. 设总体 ) , ( ~2 N X ，nX X , ,1 为抽取样本，则niiX Xn12) (1是（
）. ) (A 的无偏估计 ) (B2 的无偏估计
) (C 的矩估计
) (D
2 的矩估计 2 设 X 在[0，a]上服从均匀分布， 0 a 是未知参数，对于容量为 n 的样本nX X , ,1 ，a的最大似然估计为（
）
（A）
} , , , max{2 1 nX X X
（B）niiXn11 （C）
} , , , min{ } , , , max{2 1 2 1 n nX X X X X X
（D）niiXn111 ； 3 设总体分布为 ) , (2 N ，2, 为未知参数，则2 的最大似然估计量为（
）.
（A）niiX Xn12) (1
（B）niiX Xn12) (11
（C）niiXn12) (1
（D）niiXn12) (11
4 设总体分布为 ) , (2 N ， 已知，则2 的最大似然估计量为（
）.
（A）2S
（B）21Snn
（C）niiXn12) (1
（D）niiXn12) (11
5 3 2 1, , X X X 设为来自总体 X 的样本，下列关于 ) (X E 的无偏估计中，最有效的为（
）.
（A）
) (212 1X X
（B）
) (313 2 1X X X
（C）
) (413 2 1X X X
（D）
)3132323 2 1X X X
6 设 ) 2 ( , , ,2 1 n X X Xn 是 正 态 分 布 ) , (2 N 的 一 个 样 本 ， 若 统 计 量1121) (nii iX X K 为2 的无偏估计，则 K 的值应该为（
）
（A）n 21
（B）1 21 n
（C）2 21 n
（D）11 n 7. 设 为总体 X 的未知参数，2 1 , 是统计量， 2 1 , 为 的置信度为 ) 1 0 ( 1 a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（
）. A. a P 1 } {2 1
B.
a P P } { } {1 2
C. a P 1 } {2
D.
2} { } {1 2aP P
8 设 ) , ( ~2 N X 且2 未知，若样本容量为 n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则 的 95%的置信区间为（
）
A. ) (025 . 0unX
B. )) 1 ( (05 . 0 n tnSX
C. )) ( (025 . 0n tnSX
D. )) 1 ( (025 . 0 n tnSX
9 设2 2, ), , ( ~ N X 均未知，当样本容量为 n 时，2 的 95%的置信区间为（
）
A. )) 1 () 1 (,) 1 () 1 ((2025 . 022975 . 02n xS nn xS n
B.
)) 1 () 1 (,) 1 () 1 ((2975 . 022025 . 02n xS nn xS n C. )) 1 () 1 (,) 1 () 1 ((2975 . 022025 . 02n tS nn tS n
D.
)) 1 ( (025 . 0 n tnSX
二、填空题 1. 点估计常用的两种方法是：
和
. 2. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 { } ( ; ) P X x P x ，（ 是待估计参数），则似然函数是
，X 是连续型随机变量，概率密度是 ( ; ) f x ，则似然函数是
. 3. 设总体 X 的概率分布列为：
X
0
1
2
3
P
p2
2 p (1 -p )
p 2
1 - 2 p
其中 p
( 2 / 1 0 p ) 是未知参数. 利用总体 X 的如下样本值：
1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则 p 的矩估计值为__
___，极大似然估计值为
. 4. 设总体 X 的一个样本如下：
1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望 ) (X E 和方差 ) (X D 的矩估计值分别_
___. 5. 设总体 X 的密度函数为： 0) 1 () ( xx f
其他1 0 x，设nX X , ,1 是 X 的样本，则 的矩估计量为
，最大似然估计量为
. 6. 假设总体 ) , ( ~2 N X ，且niiXnX11，nX X X , , ,2 1 为总体 X 的一个样本， 则 X 是
的无偏估计.
7 设总体 ) , ( ~2 N X ，nX X X , , ,2 1 为总体 X 的一个样本，则常数 k=
, 使niiX X k1为
的无偏估计量 .
8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40 S .设电子管寿命分布未知，以置信度为 95 . 0 ，则整批电子管平均寿命 的置信区间为（给定 96 . 1 , 645 . 1025 . 0 05 . 0 Z Z ）
. 9 设总体 ) , ( ~2 N X ，2, 为未知参数，则 的置信度为 1 － 的置信区间为
. 10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04 . 02 ，从某天生产的产品中随机抽取 9 个，测得直径平均值为 15 毫米，给定 05 . 0 则滚珠的平均直径的区间估计为
. ) 96 . 1 , 645 . 1 (025 . 0 05 . 0 Z Z
11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取 6 个，测得直径为：
14.6
15.1
14.9
14.8
15.2
15.1 已知原来直径服从 ) 06 . 0 , ( N ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为
，（ 05 . 0 ， 645 . 105 . 0 Z ， 96 . 1025 . 0 Z ）. 12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取 12 个子样算得
2 . 0 S ，则 的置信区间为
（ 1 . 0 ， 68 . 19 ) 11 (22 ， 57 . 4 ) 11 (221 ）.
第八章
假设检验 一、选择题 1. 关于检验的拒绝域 W,置信水平 ,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是(
).
A. 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述
B．事件0 2 1| ) , , , {( H W X X Xn 为真 } 即为一个小概率事件 C．设 W 是样本空间的某个子集，指的是事件1 2 0{( , , , )| }nX X X H 为真
D．确定恰当的 W 是任何检验的本质问题 2. 设总体2 2 ),, ( ~ N X 未知,通过样本nX X X , , ,2 1 检验假设0 0 : H ,要采用检验估计量(
).
A. nX/0
B. n SX/0
C. n SX/
D.
nX/ 3. 样本nX X X , , ,2 1 来自总体 ) 12 , (2 N ,检验 100 :0 H ,采用统计量(
).
A. nX/ 12
B. nX/ 12100
C. 1 /100n SX
D. n SX/ 4 设总体2 2 ),, ( ~ N X 未知,通过样本nX X X , , ,2 1 检验假设0 0 : H ,此问题 拒绝域形式为
.
A.100{ }/ 10XCS
B. }/100{ Cn SX
C. }10 /100{ CSX
D. } { C X
5．设nX X X , , ,2 1 为来自总体 ) 3 , (2 N 的样本，对于 100 :0 H 检验的拒绝域可以形 如（
）.
A． } { C X
B. { 100 } X C
C. 100{ }/XCS n
D. { 100 } X C
6、 样本来自正态总体 ) , (2 N , 未知,要检验 100 :20 H ,则采用统计量为(
).
A. 22) 1 (S n
B. 100) 1 (2S n
C. nX100
D. 1002nS
7、设总体分布为 ) , (2 N ,若 已知,则要检验 100 :20 H ,应采用统计量(
).
A. n SX/
B. 22) 1 (S n
C. 100) (21niiX
D. 100) (21niiX X 二、填空题 1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进 行称量,得如下结果:
99.3,
98.7,
100.5,
101,2,
98.3
99.7
99.5
102.1
100.5,
99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H为
. 2．设样本25 2 1, , , X X X 来自总体 ), 9 , ( N 未知.对于检验0 0 : H ，0 1 : H ， 取拒绝域形如 k X 0 ，若取 05 . 0 a ，则 k 值为
.
第六章
样本及抽样分布 答案 一、选择题 1. ( C ) 2.（C）
注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数
3.（D）
对于答案 D,由于 ~ (0,1), 1,2, ,iXN i n ，且相互独立，根据2 分布的定义有 2212( )~ ( )niiXx n 4.(C)
注：
1111 1~ ( 1)/Xt nS n 才是正确的. 5.(D) 6C) 注：1~ (0, ) X Nn， ~ ( 1)Xt nS n 才是正确的
12 1 2 12 1 1 P X P X
52 12 2 5 1 2 5 1 2 ( ) 12P X
7.(A)
9 922 221 19285 9 257.59 1 9 1 8iii iX X X XS 8.(A)
9.(B)
解：由题意可知 1 22 ~ (0,20) X X N ，3 4 5~ (0,12) X X X N ， 6 7 8 9~ (0,16) X X X X N ，且相互独立，因此 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8 9 22~ 320 12 16X X X X X X X X X ， 即1 1 1, ,20 12 16a b c
10(A)
解：
9 921 1~ (0,9 ) 9~ 0,1i ii iX N X N ， 92 219 ~ 9iiY
由 t 分布的定义有 919219981iiiiXtY～
二、填空题 1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3. ，2n 4. 0.1 5.2 6.2 (1) n
第七章
参数估计 一、 选择题 1.答案：
D.
[解] 因为 ) ( ) (2 2 2X E X E ， niiXnA X E12221) (ˆ， niiXnA X E111) (ˆ， 所以， niiX XnX E X E12 2 2 2) (1) (ˆ) (ˆˆ . 2.答案：
A.
[解]因为似然函数niinX aa L) max (1 1) ( ，当iiX a max 时， ) (a L 最大， 所以，a 的最大似然估计为 } , , , max{2 1 nX X X .
3 答案 A .
[解]似然函数 2212) (21exp21) , ( inix L ， 由 0 ln , 0 ln2L L ，得22A . 4. 答案 C.
[解]在上面第 5 题中用 取代 X 即可.
5 答案 B.
6.答案 C. 7 答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.
二 、填空题：
：
1. 矩估计和最大似然估计； 2.iix p ) ; ( ，iix f ) ; ( ； . 3 41,
0.2828； [解] （1）
p 的矩估计值 2 8 / 1681 iiX X ，令 X p X E 4 3 ) ( ，
得 p 的矩估计为 4 / 1 4 / ) 3 ( ˆ X p .
（2）似然函数为
4 281)] 3 ( )[ 2 ( )] 1 ( )[ 0 ( ) ( ) ( X P X P X P X P x X P p Lii
4 2) 2 1 ( ) 1 ( 4 p p p
) 2 1 ln( 4 ) 1 ln( 2 ln 6 4 ln ) ( ln p p p p L
令
02 1812 6] ) ( ln [ p p pp L ， 0 3 14 122 p p
12 / ) 13 7 ( p . 由 2 / 1 0 p ，故 12 / ) 13 7 ( p 舍去 所以 p 的极大似然估计值为 . 2828 . 0 12 / ) 13 7 ( ˆ p
4、 1.71，0.00138；
[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii 22 )(ˆ, ) (ˆ，又因为2 2)] ( [ ) ( ) ( X E X E X D ， 所以 71 . 1575 . 1 65 . 1 7 . 1 75 . 1 7 . 1) (ˆ X X E
且 00138 . 0 ) (1) (ˆ12 niiX XnX D .
5、XX11 2ˆ ,
niiniiXX n11lnlnˆ ； [解] （1）
的矩估计为：
210121) 1 ( ) (210 x dx x x X E
样本的一阶原点矩为：niixnX11 所以有：XXX 11 2ˆ21 （2）
的最大似然估计为：
) ( ) 1 ( ) 1 ( ) , , (1 11 niinnii nX X X X L ；
niiX n L1ln ) 1 ln( ln
0 ln1ln1 niiXndL d 得： niiniiXX n11lnlnˆ . 6、 ；
[解] nnX EnX Enii1) (1) ( . 7、 ) 1 ( 2 n n；
[解]注意到nX X X , , ,2 1 的相互独立性， n i iX X n X XnX X ) 1 (12 1 21) ( , 0 ) ( nnX X D X X Ei i
所以， )1, 0 ( ~2nnN X X i ， dz ennz X X Ennzi2212121| | |) (|
dz ennznnz221201212 nn 122
因为：
niiniiX X E k X X k E1 1| | | | nnkn122 所以，) 1 ( 2 n nk. 8、. [992.16，1007.84]；
[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：
05 . 0 , 40 , 1000 S X ， 96 . 1025 . 0 Z
的 95%的置信区间是：
] 84 . 1007 , 16 . 992 [ ] , [025 . 0 025 . 0 ZnSX ZnSX . 9、 2 2( ( 1), ( 1))S SX t n X t nn n ；
[解]这是2 为未知的情形，所以 ) 1 ( ~/n tn SX . 10、
[14.869，15.131]；
[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：
] , [2 2 Znx Znx
由题意得：
9 05 . 0 04 . 0 152 n x ，代入计算可得：
] 96 . 192 . 015 , 96 . 192 . 015 [ ，
化间得：
] 131 . 15 , 869 . 14 [ . 11、 [14.754，15.146]； [解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：
置信区间为：
] , [2 2 ZnX ZnX
由题得：
95 . 14 ) 1 . 15 2 . 15 8 . 14 9 . 14 1 . 15 6 . 14 (61 X
6 96 . 1 05 . 0025 . 0 n Z
代入即得：
] 96 . 1606 . 095 . 14 , 96 . 1606 . 095 . 14 [
所以为：
] 146 . 15 , 754 . 14 [
12、. [0.15，0.31]；
[解] 由2222221) 1 ( S n得：
2222) 1 (S n ，22122) 1 (S n 所以 的置信区间为：[) 11 () 1 (222S n ，) 11 () 1 (2212 S n] ， 将 12 n ， 2 . 0 S 代入得
[ 15 . 0 ， 31 . 0 ].
第八章
假设检验 一、选择题 1.C、2.B、3.B、4.C、5.B、6.B、7.C、8.B 二、填空题 1. 100
2. 1.176
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