概率论与数理统计期中考试试题 1
一．选择题（每题 4 分，共 20 分）
1.设 , , A B C 为三个随机事件， , , A B C 中至少有一个发生，正确的表示是（ ）
A. ABC
B. ABC
C. A B C
D. A B C
2.一个袋子中有 5 个红球，3 个白球，2 个黑球，现任取三个球恰为一红，一白，一黑的概率为 (
) A. 12
B. 14
C. 13
D. 15 3.设 , A B 为随机事件， ( ) 0.5, ( ) 0.6, ( | ) 0.8 P A P B P B A ，则 ( ) P A B （ ）
A．0.7
B. 0.8
C. 0.6
D. 0.4 4. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为 2 的泊松分布，则某一分钟恰有 4 次呼唤的概率为（ ）
A. 423e
B. 223e
C. 212e
D. 312e
5.若连续性随机变量2( , ) X N ，则XZ
（ ）
A．2( , ) Z N
B. 2(0, ) Z N
C. (0,1) Z N
D. (1,0) Z N
二. 填空题（每题 4 分，共 20 分）
6. 已知1( )2P A ，且 , A B 互不相容，则 ( ) P AB
7. 老张今年年初买了一份为期一年的保险，保险公司赔付情况如下：若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付 30 万元；若投保人因其他原因死亡，则公司赔付 10 万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他原因死亡的概率为 0.0050，则保险公司赔付金额为 0 元的概率为
8. 设连续性随机变量 X 具有分布函数
0, 1( ) ln ,11,xF x x x ex e 则概率密度函数 ( ) f x
9. 设连续型随机变量2(3,2 ) X N ，则 2< 5 P X
(注: (1)=0.8413, (0.5)=0.6915 )
10. 设离散型随机变量 X 的分布律为1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4X ，则2( 1) Y X 的分布
律为
三．解答题（每题 8 分，共 48 分）
11. 将 9 名新生随机地平均分配到两个班级中去，这 9 名新生中有 3 名是优秀生。求
（1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？
（2）3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？
12. 甲乙两人独立地射击同一目标，击中目标的概率分别为 0.6，0.7，求下列各事件的概率：
（1）两人都击中目标，
（2）目标被击中，
（3）恰有一人击中。
13. 将一枚硬币连掷三次，随机变量 X 表示“三次中正面出现的次数”，求 （1）
X 的分布律及分布函数 （2）
5.5 , 1 3 P X P X
14. 设连续型随机变量 X 的概率密度为
,0 1( ) 2 ,1 20,kx xf x x x 其他 （1）求常数 k
（2）求分布函数 ( ) F x
（3）求32P X
15. 设随机变量 X 在 2,5 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。
16. 设二维随机变量 , X Y 的联合概率密度函数为 ,0( , )0,ye x yf x y 其他 （1）
分别求 , X Y 的边缘密度函数 ( ), ( )X Yf x f y ； （2）
判断 , X Y 是否独立。
四．应用题（每题 12 分，共 12 分）
17. 病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为 0.8。若浇水则树死去的概率为 0.15。有 0.9 的把握确定邻居会记得浇水。
(1)求主人回来树还活着的概率；
（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。
参考答案 1. D
2.B
3.A
4.B
5.C 6. 12
7. 0.9948
8. 1,1( )0,x ef x x 其他
9. 0.5328
10. 0 1 40.1 0.7 0.2Y 11.解：记 A : 每个班级各分配到一名优秀生
B : 2 名优秀生分配在同一个班级
因此
（1）
2 2 26 4 23 3 39 6 33! 9( )28C C CP AC C C ，
…………………………………………..4 分
（2）
2 2 26 4 23 3 39 6 33 9( )56C C CP BC C C .
…………………………………………..8 分 12. 解：记 A ：甲击中，
B ：乙击中。
（1）
( ) ( ) ( ) 0.6 0.7 0.42 P AB P A P B
………………………………..2 分
（2）
( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.7 0.42 0.88 P A B P A P B P AB
………..5 分
（3）
( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.3 0.4 0.7 0 0.46 P AB AB P AB P AB P AABB
………………8 分 13. 解：
, , , , , , , S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
因此 X 的分布律为 0 1 2 31 3 3 18 8 8 8X 。
…………………………2 分 当 0 x 时， ( ) 0 F x P X x
当 0 1 x 时
1( ) 08F x P X x P X
……………………………3 分 当 1 2 x 时 1( ) 0 12F x P X x P X P X
…………………………4 分 当 2 3 x 时 7( ) 0 1 28F x P X x P X P X P X
…………….5 分. 当 3 x 时
( ) 0 1 2 3 1 F x P X x P X P X P X P X
…….6 分 即
0, 01,0 181( ) ,1 227,2 381, 3xxF x xxx （2）
5.5 1 5.5 1 5.5 5.5 1 (5.5) 5.5 0 P X P X P X P X F P X
……….. 7 分 11 3 (3) (1)2P X F F
…………… 8 分 14. 解：（1）因为 1 20 11 1( ) 2 12 2f x dx kxdx x dx k ，
………………2 分
故
1 k
…………… 3 分 （2）当 0 x 时
( ) ( ) 0xF x f t dt
……………………………. 4 分
当 0 1 x 时 020 01( ) ( ) ( ) ( )2x x xF x f t dt f t dt f t dt tdt x
…………….5分 当 1 2 x 时 0 1 120 1 0 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 12x x xF x f t dt f t dt f t dt f t dt tdt t dt x x
……………… 6 分
当 2 x 时
0 1 20 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x xF x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt
……7 分 即
220, 01,0 12( )12 1,1 221, 2xx xF xx x xx
（3）3 3 3 1 9 7( ) 2 12 2 2 2 4 8P X F
……………………………8 分 15. 解：
X 的概率密度为 1,2 5( ) 30,xf x 其他
………………………2 分 记 A :“对 X 的观测值大于 3”，即 3 A X ，故 531 2( ) 33 3P A P X dx
……………….4 分 记 B ：3 次独立观测中观测值大于 3 的次数，则2(3, )3B b ，
………………….5 分 故
2 32 33 32 1 2 20( 2) 2 =33 3 3 27P B P B P B C C
……………8 分 16. 解：（1）当 0 x 时
( ) ( , )y xXxf x f x y dy e dy e ，
……………2 分 即
, 0( )0, 0xXe xf xx
………………………3 分 同理
, 0( )0, 0yYye yf yy
……………………….6 分 （2）
因为 ( )( ) ( ) ( , )x y yX Yf x f y ye e f x y
………………………………… 8 分
故 X 与 Y 不独立。
17.解：记 A ：树还活着；
B ：邻居记得给树浇水。
…………………………………..1 分 则由题意可得 ( ) 0.9, ( ) 0.1, ( | ) 0.15, ( | ) 0.8 P B P B P A B P A B
…………………..3 分 （1）
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 0.785 P A P A B P B P A B P B
…………………………7 分
(2) ( ) ( | ) ( )( | ) 0.3721 ( ) ( )P AB P A B P BP B AP A P A
………………………12 分
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