河北省衡水市 2018- -9 2019 学上学期高二期末考试
数学 答案解析
共 一、选择题：本大题共 12 个小题, 每小题 5 分,共 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】C 【解析】
22 0 A x x x ( 1,2) ,所以 0,1 A B ，选 C. 2. 【答案】A 【解析】
设 z a bi ， z a bi ，即 1 2 1 3 z i i i ，即 3 z i ，故选 A. 3. 【答案】B 【解析】
设飞鸟图案的面积为 s ，那么2s nm ，几2nsm ，故选 B. 4. 【答案】D 【解析】
【分析】
根据程序框图，模拟运算即可求出. 【详解】第一次执行程序，输出 1， 2 s ，第二次执行程序，输出 3 A= ， 3 s ，第三次执行程序，出 5 4 A s ， ，第四次执行程序，输出7, 5 A s
，故选 D. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题. 5. 【答案】B 【解析】
sin 75 cos 15 ，所以原式等于 1sin 15 cos 15 sin 30 22
而 2sin 30 2 sin[ 75 2 45 ] sin 75 2 cos 75 22 ， 75 2 75 ,255
，又因为 sin 75 2 0 ，所以 75 2 180 ,255 ，可求得
4cos 75 25
，那么 2 2 3 4 2sin 30 2 sin 75 2 cos 75 22 2 5 5 10 ，那么 1 2sin 30 22 20 ，故选 B. 6. 【答案】D 【解析】
【分析】
可先画出三棱柱，结合向量的加法及减法公式将1C B 用1, AB AC AAuuur uuur uuur， 进行代换即可 【详解】如图所示：根据向量线性运算的加法法则有1 1 1 1C A A C A AB b c a B ， 整理顺序得：1a C B b c
故选 D 【点睛】本题考查空间向量线性运算的加法及减法运算，属于基础题 7. 【答案】D 【解析】
如 图 ， 取 BD 的 中 点 M ， 连 接
, AM CM ，90 AMC ，: 2:1, : 2:1 AF FM CE EM
， , , OF AM OE MC OE OF O ， 连 接 OC ， 点 O 是 三 棱 锥 A BCD 的 外 接 球 的 球 心 ， 因 为 棱 长 都 是 2 ， 所 以3 2, 33 3OE FM EC ，所以在 OEC 中，2 2153R OC OE EC ，那么外接球的表面积是22043S R ，故选 D.
【点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解. 8. 【答案】D 【解析】
1 n
时 ， 第 一 次 进 入 循 环 ， 16, 8, 6, c a b
2 n 时 ， 第 二 次 进 入 循 环48, 6, 8 c a b ，3 n 时，第三次进入循环，48, 8, 8 c a b
， 4 n 时，第四次进入循环，64, 8, 4 c a b ，当 5 n 时，第五次进入循环，32, 4, 2 c a b
6 n 时，第六次进入循环，8, 2, 8 c a b
，由此可知此循环的周期为 6，当 2016 n时，第 2016 次进入循环，2016 6 336
，所以此时 8, 2, 8 c a b ，退出循环，输出的 b 值等于 8，故选 D. 9. 【答案】A 【解析】
次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱，1 42 1 1 1 1 23 3V ，故选 A.
10. 【答案】C 【解析】
1 1 2 1 1 2 2 22 , 2 FP a F P FP a F P
，所以1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 28 8 FP FP PP F P F P PP ，当且仅当1 2 2, , P F P 三点共线时等号成立，故选 C. 11. 【答案】C 【解析】
分析】
由题意，利用基本不等式，可得 4xy 的最小值为 12，得到212 7m m ，即可求解实数 m 的取值范围，得到答案． 【详解】由题意，利用基本不等式，可得14 (4 )2x y x y 3 6 1 3 24( ) (12 )2 2 2y xx y x y 1(12 2 36) 122 ，当且仅当32x ， 6 y 时，取等号， 得212 7m m ，解得 4 m 或 3 m ，故选 C． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中利用基本不等式求得 4xy 的最小值，合理转化恒成立问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 12. 【答案】A 【解析】
原式等价于1 xa x ，两边取自然对数得 1 ln ln x a x
， 令 ln 1 ln p x x x a
，则 1 x 时， 0 p x
因为 1ln p x ax
当 ln 0 a 时，即 0,1 a 时， 0, p x p x 单调递增，当 1 x 时， 1 0 p x p 与 0 p x 矛盾；当 ln 0 a 时，即 1, a 时，令 0 p x ，解得1lnxa
， 10,lnxa ， 0, p x p x 单调递增，1,lnxa 时， 0, p x p x 单调递减， 若11lna ，即 1, a e ，当11,lnxa 时， p x 单调递增， 1 0 p x p ，矛盾；
若11lna ，即 , a e
，当 1, x 时， p x 递减， 1 0 p x p ，成立， 综上， , a e
，最小值为 e
，故选 A. 【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设 ln 1 ln p x x x a ，讨论 a 的取值范围，使函数满足 0 p x ，转化为求函数的单调性，根据单调性可求得函数的最值. 二、填空题（每题 5 5 分，满分 0 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 【答案】12 【解析】
31, ,3AB AG 且两向量的夹角为 30 ，即3 3 113 2 2AB AG
故填：12
14. 【答案】当 0 c 时，若 ac bc ，则 a b
【解析】
【分析】
利用原命题与逆命题之间的关系转化即可． 【详解】原命题为：“当 0 c 时，若 a b ，则 ac bc .” 它的逆命题为：“当 0 c 时，若 ac bc ，则 a b .” 【点睛】原命题：“若 p ，则 q ”； 逆命题：“若 q ，则 p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非 p ，则非 q ”，或“若p ，则q ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非 q ，则非 p ”，或“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定． 15. 【答案】23 【解析】
设2ABF 周长为 L ，则21 14 1 22 2ABFS L r a a ，又21 2 1 21 12 3 32 2ABFS FF y y ，则32 3,2a a ，又 1 c ，则23e ，故填：23.
16. 【答案】24
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，结合 PAC 为等腰直角三角形，求得向量 , AC PD 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】取 AC 得中点 O ，连接 OP ， OB ，因为 PA PC ，所以 AC OP . 因为平面 PAC 平面 ABC ，平面 PAC 平面 ABC AC . 所以 OP 平面 ABC ，又因为 AB BC ，所以 AC OB ，于是以 O 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，结合 PAC 为等腰直角三角形， 4 PA PC , ABC 为等边三角形，则 2 2,0,0 A， 2 2,0,0 C ， 0,0,2 2 P， 2, 6,0 D， 所以 4 2,0,0 AC ， 2, 6, 2 2 PD ， 所以8cos ,4 2 4AC PDAC PDAC PD 24 ， 故异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为24.
【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力． 三、解答题
（本大题共 6 6 小题，共 0 70 分. . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . ）
17. 【答案】(1)2na n ；(2)( )16 5 4 209nnnS+- += . 【解析】
试题分析：（1）根据等差数列的性质，可知1 3 22 a a a ，解出 t ，得到数列的通项公式；（2）根据（1）可知2na n ，求得 4nnb = ， () ( )1 2 1 4 nn na b n - = - ? ，采用错位相减法求和. 试题解析：(1)由题意得2 2 22 8 t t t t t ，所以 2 t ，
2 t 时，12 a ，公差 2 d ，所以2na n ， 2 t 时，16 a ，公差 2 d ，所以8 2na n . (2)若数列 na 为递增数列，则 2na n ， 所以2log 2nb n ， 4nnb ， 1 2 1 4 nn na b n ， 所以 2 3 11 4 3 4 5 4 2 3 4 2 1 4n nnS n n ， 2 3 4 14 1 4 3 4 5 4 2 3 4 2 1 4n nnS n n ， 所以 2 3 13 4 2 4 2 4 2 4 2 1 4n nnS n
2 114 1 44 2 2 1 43nnn 120 6 5 43nn ， 所以 16 5 4 209nnnS . 18.【答案】(1)2.3；(2)答案见解析. 【解析】
试题分析：（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数/200；（2）该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加 1 次，另一个参加 2 次送考”为事件 A ，“这两人中一人参加 2 次，另一人参加 3 次送考”为事件 B ，“这两人中一人参加 1 次，另一人参加 3 次送考”为事件 C ，“这两人参加次数相同”为事件 D .0,1,2 X ，根据事件列式求分布列和数学期望. 试题解析：由图可知，参加送考次数为 1 次，2 次，3 次的司机人数分别为 20，100，80. (1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：
1 20 2 100 3 802.3200 . (2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加 1 次，另一个参加 2 次送考”为事件 A ，“这两人中一人参加 2 次，另一人参加 3 次送考”为事件 B ，“这两人中一人参加 1 次，另一人参加 3 次送考”为事件 C ，“这两人参加次数相同”为事件 D .
则 1 1 1 120 100 100 802 2200 2001001199C C C CP X P A P BC C ， 1 120 802200162199C CP X P CC ， 2 2 220 100 802200830199C C CP X P DC . X 的分布列：
X
0 1 2 P
83199 100199 16199 X 的数学期望83 100 16 1320 1 2199 199 199 199EX . 19. 【答案】（1）a="4," b=-3（2）单调增区间为 1, 3 , ,3 ，单调减区间为13,3 （3）最大值为 6，最小值为427
【解析】
试题分析：（1）本题运用待定系数法求函数解析式，但函数图象在 x=13处取得极值可得103f ，通过解方程组可得到 a、 b 的值；（2）由导数性质求出 f"（x）＞0 和 f"（x）＜0的 x 范围就是函数 f（x）的单调区间；（3）由函数在区间[-1，1]上的单调性：f（x）在11,3 上是减函数，在1,13 上是增函数求出函数的最值 试题解析：（1）
∵函数 f（x）=x 3 +ax 2 +bx（a,b R）的图象过点 P（1，2）
∴ f（1）=2
∴ a+b=1
又函数 f（x）在 x= 处取得极值点 ∴ （ ）=0 因 （x）=3x 2 +2 ax+b ∴2a+3b="-1"
解得 a="4," b="-3"
经检验 x= 是 f（x）极值点
（2）由（1）得 （x）=3x 2 +8x-3 令
（x）
＞0 ，得 x＜ -3 或 x＞
令 （x）
＜0 ，得 -3＜ x ＜
函数 f（x）的单调增区间为（ ，-3）, （ , ）， 函数 f（x）的单调减区间为（-3， ）
（3）
由（2）知，又函数 f（x）
x= 处取得极小值点 f（ ）=427
f（-1）="6," f（1）="2"
函数 f（x）在[-1,1]上的最大值为 6，最小值为427
考点：1．函数解析式的求解及常用方法；2．函数的最值及其几何意义；3．利用导数研究函数单调性 20. 【答案】（1）证明见解析；（2）
223 8 1 x y y ． 【解析】
【详解】试题分析：（1）代入点的坐标得到抛物线方程24 x y ，设直线 ykx m ，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用 0 MA MB ，代入根与系数的关系，求得 2 5 m k ，代入直线方程，得到定点；（2）根据（1）可知，点 N 的轨迹满足圆的方程，以 MR 为直径的圆去掉 2,1 ，写出圆的方程即可. 试题解析：(1)点 M 在抛物线2: C y ax 上，代入得14a ，所以抛物线 C 的方程为24 x y ， 由题意知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx m ，设 1 1, A x y ， 2 2, B x y ， 联立得2244 4 0x yx kx my kx m ，得1 24 x x k ，1 24 x x m ， 由于 MA MB ，所以 0 MA MB ，即 1 2 1 22 2 1 1 0 x x y y ， 即 1 2 1 2 1 2 1 22 5 0 x x x x y y y y .(*) 又因为 1 2 1 22 y y k x x m ， 2 21 2 1 2 1 2y y k x x km x x m ，
代入(*)式得2 24 8 6 5 k k m m ，即 2 22 2 3 k m ， 所以 2 2 3 k m 或 2 2 3 k m ，即 2 5 m k 或 2 1 m k . 当 2 5 m k 时，直线 AB 方程为 2 5 y k x ，恒过定点 2,5 ， 经验证，此时 0 ，符合题意； 当 2 1 m k 时，直线 AB 方程为 2 1 y k x ，恒过定点 2,1 ，不合题意， 所以直线 AB 恒过定点 2,5 . (2)由(1)，设直线 AB 恒过定点 2,5 R ，则点 N 的轨迹是以 MR 为直径的圆且去掉 2,1 ，方程为 223 8 1 x y y . 21. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）357. 【解析】
分析：（Ⅰ）要证明 PN AB ，可证明 AB CDPN ∥面 ，它可由 AB CD ∥ 证得. （Ⅱ）取 CD 的中点为 M ，可证 AM AB ，, AP AM AP AB ，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面 BDN 和平面 DNC 的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值. 详解：（Ⅰ）在菱形 ABCD 中， AB CD ∥ ， ∵ CD CDPN 面 ， AB CDPN 面 ，∴ AB CDPN ∥面 . 又 AB ABPN 面 ，面 ABPN CDPN PN 面 ，∴ AB PN ∥ . （Ⅱ）作 CD 的中点 M ，则由题意知 AM AB ， ∵ PA ABCD 面 ，∴ PA AB PA AM ， . 如图，以 A 点为原点，建立空间直角坐标系 Axyz ，
设 2 AB ，则(2,0,0) B， (1, 3,0) C ， ( 1, 3,0) D ， (0,0,2) N ， ∴ ( 3, 3,0) BD ， (1, 3,2) DN ， ( 2,0,0) CD . 设平面 BDN 的一个法向量为1 1 1 1( , , ) n x y z =， 则由10 n BD ，10 n DN ，得1 11 1 13 3 03 2 0x yx y z ， 令11 x ，则13 y ，11 z ，即1(1, 3,1) n ， 同理，设平面 DNC 的一个法向量为2 2 2 2( , , ) n x y z ， 由20 n BD ，20 n DN ，得2 2 223 2 02 0x y zx ， 令21 z ，则232y ，20 x ，即23(0, ,1)2n ， ∴1 21 21 235cos ,7n nn nn n ，即二面角 B DN C 的余弦值为357. 点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）. 22. 【答案】（1）2 2116 12x y ；（2）存在直线 :4 0 l x y 或4 0 x y 满足题意. 【解析】
【分析】
(1)根据已知得到关于 a,b,c 的方程组，解方程组即得解.(2)对直线 l 的斜率分类讨论，直线 l 的斜率必存在,不妨设为 k ，设直线 l 的方程为4 y kx ,即4 y kx ，联立直线和椭圆的方程得到 2 23 4 32 16 0...
相关热词搜索： 衡水 河北 参考答案